线性代数拉普拉斯公式例题,线性代数里面拉普拉斯变换
老猿Python博客目录一.逆序和逆序数字是一种排列。如果一对数的前后位置大小顺序相反，即前数大于后数，则称它们为a
逆序
。一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数
。也就是说，对于n个不同的元素，规定了元素之间有一个标准的顺序(比如n个不同的自然数，可以指定从小到大的标准顺序)，所以在这n个元素的任意排列中，当任意两个元素的实际顺序与标准顺序不同时，就说有逆序。一个安排中所有反向订单的总数称为该安排的反向订单数。比如2431中，21，43，41，31是逆序的，逆序数是4。计算过程如下：2逆序数1(1排后)，4逆序数2(3排和1排后)，3逆序数1(1排后)。
第二，偶数排列和奇数排列。偶数逆序的排列称为偶数排列；奇数倒数的排列称为奇数排列。
比如2431中，21，43，41，31是逆序的，逆序数是4，是偶数排列。
三。线性方程3.1。概念线性方程是所有方程相对于未知量都是线性的方程。下图显示了一个典型的线性方程：
1)，其中x1，x2，…，xn代表未知量，ij(1im，1jn)称为方程的
系数
，bi(1im)称为孝顺的眼神
。系数和子眼是任意复数或某定义域的元素。2)当子眼b1，b2，…，bn都等于零时，则称方程组为
齐次线性方程组
。由上述等式中每个变量前面的系数组成的矩阵a:
方程的
系数矩阵
。将由子眼组成的列添加到A中，得到M行n-1列的矩阵：被称为方程组。
3.2.线性方程组的解如果将x1=c1，x2=c2，…，xn=cn代入给定的线性方程组，则(c1，c2，…，cn)是该线性方程组的a
增广矩阵
。如果线性方程组c1，c2，…，cn的解不全为0，则(c1，c2，…，Cn)解
齐次线性方程组总有非零解
(0，0，…，0)个线性方程组有解，称为零解
；否则就叫相容
两个方程。如果它们的未知量相同，解集相等，则称为不相容
或如果要明确求解n个未知数，要求结果唯一，那么至少需要n个方程，但是有n个方程不一定能确认唯一解，因为有些可能没用，比如第一个方程和第二个方程相加构造的方程，或者直接把方程两端的系数相乘构造的方程。3.3.线性方程组研究的主要问题线性方程组讨论的主要问题有：方程组是否有解，何时有解，即解的存在性，方程组的解的个数，是否只有一个，即解的唯一性。如果解一个有解的方程组有多个解，能否求出每个解，并说明不同解之间的关系，那就是研究线性方程组解的结构。四。n阶行列式4.1。定义一组(N个)数(称为元素)按一定规则排列成正方形的乘积所形成的代数和，称为N阶行列式。
对于正方形矩阵：
它的行列式定义为：
Ai在I行j列被称为
同解方程组
或等价方程组
。行列式的结果是一个标量，其中J1，J2，JN是1，2，n(一共n！置换)，所以n阶行列式由n组成！组成，其中：
即每一项按以下规则有符号：j1，j2，…，jn为偶数时有正号，j1，j2，…，jn为奇数时有负号。
行列式代数和计算公式中每一项的符号还有另一种确认方法：将行列式中的项进行排列，一次交换两行或两列，将项中的元素全部移到行列式的对角线位置。如果要交换的数字是偶数，则对应项目的符号为正，否则为负。
数
元
4.2.大对角线和小对角线行列式从左上角到右下角的对角线称为
案例1： 2*2阶行列式
，从右上角到左下角的对角线称为案例2：3*3阶行列式
。4.3.转置行列式把行列式D的行变成列，列变成行，而不改变它们之间的顺序，那么新的行列式叫转置行列式，就是D’。
4.4.行列式的对称行列式和反对称行列式：
若对任意I，j属于[1，n]且aij=aji(ij，ji为下标)，则该行列式称为对称行列式。
若对任意I，j属于[1，n]，aij=-aji(ij，ji为下标)，则aii=0，则该行列式称为反对称行列式。
4.5.对角行列式N阶对角行列式是指主对角线外的元素全部为0(称为
主对角线
)或次对角线外的元素全部为0(称为次对角线
)的行列式。主对角线行列式的结果是主对角线所有元素的乘积，次对角线行列式的结果的绝对值是次对角线所有元素的乘积，但其符号位由负一的n(n-1)/2次方确定。即：
4.6.上下三角行列式。上(下)三角行列式是指主对角线上(下)所有元素都为0的行列式。上下三角行列式的结果相等，都等于主对角线上元素的乘积。即：
4.7.ldgs行列式如下：
的行列式称为ldgs行列式。
如果Dn是n阶ldgs行列式(n=2)，则有：
其中包括：
根据ldgs行列式的计算方法，行列式为0的充要条件是x1，…，xn中至少有两个相等。
4.8.n阶行列式的性质。性质一：行列互换，行列式不变。因此，如果两个矩阵是转置矩阵，它们的行列式相等；2.性质：行列式中某一行(列)的所有元素乘以一个数k，等于行列式乘以数k；3.性质：如果一个行列式的某一行(列)中的每一个元素都是两个元素的和，那么这个行列式等于两个行列式的和，即：如果A=[a1，…，ai，…，an]，B=[A1，…，BI，…，an]，C=[A1，…，艾比，…]。性质：如果行列式中的两行(列)相同，那么行列式为零。(所谓两行(列)相同，就是两行(列)对应的元素都相等)；5:如果行列式中两行(列)成比例，那么行列式为零；6.性质：将一行(列)的倍数与另一行(列)相加，行列式不变；7.性质：行列式中两行(列)的位置颠倒；8:若A=[a1，…，ai，…，an]与向量组a1，…，ai，…，an线性相关，则A=0。五、子行列式和冷笔型从行列式D中删除几行和相同列数，剩下的M行和M列仍组成一个行列式，称为原行列式的
下标r1…rm表示保留的行，s1…sm表示保留的列。它们的个数是相同的，但原行列式对应的行号和列号不一定相同。比如2、4、6等偶数行留作行，奇数列留作列，那就完全不一样了。但是，如果保留的下标满足任意i[1，m]，ri=si，即保留的行号和列。被删除的行和列的交叉点上的元素也形成一个行列式。如果主子式标记为M，则删除部分形成的行列式称为M的
主对角行列式
，标记为：从另一个角度来看，M也是关于其冷笔风格的原始决定因素。
将M的冷笔形式乘以系数：
获得的值记录为：
叫
次对角行列式
对应m。
m阶子式
，在N阶行列式D中，元素aij的第I列和第J列划掉后，剩下的n-1阶行列式称为元素aij的冷笔形式，记为主子式
，冷笔形式Mij乘以-1i j次方记为冷酷的钢笔式
，aij称为元素Aij的即代数冷酷的钢笔式
ij=(-1)i j特别地
ij艾在D中的冷笔形式是其在D的转置行列式D 中的冷笔形式转置行列式
不及物动词行列式展开和朴素水杯定理6.1。定理1 n阶行列式D:
等于任何一行中所有元素的和
这个定理通常说是展开第I行的行列式。同样，我们也可以展开列中的行列式，得到：
D=a1i*A1i a2i*A2i … ani*Ani
6.2.定理2n阶行列式任意一行中每个元素与另一行中对应元素的代数冷笔积之和等于0，即：
aj1*Ai1 aj2*Ai2 … ajn*Ain=0 (ij)
同样，行被列取代也是事实，即：
a1j*A1i a2j*A2i … anj*Ani=0 (ij)
6.3.定理合并。结合定理1和定理2，得到以下两个重要公式：
简介
Mij
:以上两个公式可以写成：
6.4.朴素水杯定理朴素水杯定理是一种计算降阶行列式的方法。
Aij
:在n阶行列式D=aij中，任意选择k行(列)，1kn，由这k行(列)的元素组成的所有k阶子形式与其代数冷笔形式的乘积之和等于行列式D的值，这个展览称为天真水杯展览。
这个定理，也叫行列式，由一些k行(列)展开。
七。用行列式解线性方程7.1。解二元线性方程组为二院的线性方程组：
对应于线性方程的增广矩阵是：
相应的解决方案是：
请记住：
那么上述线性方程的解被记录为：
这种表示法形状简单，容易记忆。
7.2.求解三元线性方程如下设置三元线性方程：
订单：
如果D 0，上述线性方程组有唯一解：
7.3.解n元线性方程组。关于解n元线性方程组，有以下几个重要定理。设线性方程为：
其系数行列式d:
如果系数行列式D0对应于一个线性方程的系数矩阵，则该线性方程组有唯一解，其解为：
Dj是将D的J列中的元素用子眼对应替换后得到的行列式，其他列不变。
上述定理称为
代数冷酷的钢笔式
或A
。根据绝望飞机定理，如果方程组无解或有两个不同的解，那么方程组的系数行列式必等于零。
八。小结本节介绍与解线性方程组相关的概念，如逆序与数、偶排列与奇排列、行列式等。介绍了用行列式解线性方程组的方法。我们可以利用飞机定理求解具有唯一解的线性方程组，但是当线性方程组中的变量较多时，这种方法需要的计算量较大。要解一个N阶线性方程组，我们要计算N 1个N阶行列式。另外，当方程组系数的行列式等于零时，绝望飞机法则失效。
参考文献：1。百度百科关于N阶行列式的知识介绍
2.百度百科关于飞机定理的知识介绍。
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