坐标系的变换矩阵,坐标旋转变换公式矩阵
在高级驾驶辅助系统(ADAS)领域，常见的坐标系有很多：激光雷达坐标系、车辆坐标系、摄像机坐标系、图像坐标系等。笔者在最近的实习中，经常和这些坐标系打交道。作为CSDN的第一份出版物，本文将详细概述坐标转换矩阵。
目录
1.什么是坐标变换矩阵？
2.旋转矩阵(旋转矩阵)
3.标度矩阵
4.翻译矩阵
5.全面转型
6.摘要
1. 何为坐标变换矩阵 （Transformation Matrix）
首先我要回答一个问题。坐标变换矩阵
是什么？“横观山侧成峰，远近不同”，可见参照系的选择对我们观察事物的重要性。在上面举例说明的坐标系变换的背景下，点是客观存在的，而坐标系是根据不同的应用场景人为选择的。处理pcd点云数据时，需要三维激光雷达坐标系；查看图像时，需要二维图像坐标系(通常是1920*1080等。).即：
“点不变，坐标系进行变换。”
坐标变换矩阵
是这个变换坐标系前后的点的值的变换映射矩阵。注意，点不动，坐标系动。
下面讨论三种变换矩阵：旋转变换矩阵、缩放变换矩阵、平移变换矩阵。2.旋转变换矩阵(
Rotation M
atrix
)2.1 二维情形
如图1，在二维平面xoy上，将从
绿色坐标系逆时针
旋转到蓝色坐标系
。大家可以看到，A点没有移动，但是A点在前后坐标系中的坐标发生了变化，也就是从变换到。图1二维平面旋转矩阵在图1中用黑色虚线表示。通过
矢量分解
(类似于物理学中力、速度等矢量的分解)，在绿色坐标系
的X轴和Y轴上分解蓝色坐标系
，可以得到：用矩阵表示为：
r是二维情况下的旋转变换矩阵，代表前后坐标系中A点的
值的映射关系
。
2.2 三维情形
有了上述二维平面旋转的基础，三维空间的旋转矩阵就不难找到了。
即分别绕X轴、Y轴、Z轴旋转。最后将这三个旋转变换矩阵相乘，就可以得到三维空间中任意角度的旋转变换矩阵。(
xyz轴满足右手系关系
)在
绕x轴
旋转时，可以看作是在yoz二维平面上的旋转，此时x的值不变
。在
绕y轴
旋转时，可以看作是在zox二维平面上的旋转，此时y的值不变
。当在
绕z轴
旋转时，可以看作是在xoy 2D平面的旋转，此时z的值不变
。最终的三维旋转变换矩阵是上述三个矩阵的相乘，也就是三维坐标系绕X轴、Y轴、Z轴旋转相应的角度。
2.3 顺时针？逆时针？
刚接触旋转这个概念的时候，经常头疼什么时候顺时针转，什么时候逆时针转。
高中时接触到
点的旋转矩阵R（rotation matrix of a point）
，这里是坐标系不变
，点绕坐标原点顺时针
旋转。在本文的情况下，旋转变换矩阵的形式是
完全一致
，但方向相反。3354变成逆时针
！原因是上面的陈词滥调是高中的矩阵是点动系不动
，而这篇论文的矩阵是系动点不动
。所以方向正好相反。回到
系动点不动
本文从两个角度推导了顺时针旋转的公式。1)变为-:此时选择相反的旋转角度，变为顺时针。
2)求原矩阵的逆矩阵：先逆时针，再顺时针，相当于回到原系统，即坐标乘以单位矩阵。
可得坐标系
顺时针
旋转的旋转变换矩阵为：3.比例矩阵除了旋转变换，还有坐标值的纯放大缩小变换，也就是比例变换。下面直接给出了比例变换的公式：
上式中点的x，y，z坐标值分别放大(缩小)Scale.x，Scale.y，Scale.z倍。
标度矩阵也有“定点”或“不动点”的问题。如果是“定点系统”，那么S矩阵中的Scale.x，Scale.y，Scale.z简单来说就是点x，y，z的展开(缩小)倍数。
如果是“
系动点不动
”，那么S矩阵中的Scale.x、Scale.y、Scale.z是坐标系x、y、z轴单位扩展(缩小)倍数的倒数。换句话说，如果坐标轴单位被放大了刻度倍数，那么点X、Y和Z的值将被减小刻度倍数。你可以用公里和米的换算来思考这个问题。如果单位是米，那么一个物体的长度是1000米。当单位变为km时，物体将为1km长。当单位展开时，数值从1000减少到1。4.平移矩阵坐标系的旋转和缩放可以通过3*3的变换矩阵来完成，但是平移需要扩展3*3到4*4，并引入
齐次变换矩阵
。下面直接给出平移变换矩阵的公式：具体流程是：
平移矩阵也有“定点”或“不动点”的问题。
如果是本文重点讨论的“
系动点不动
”。翻译。x，翻译。y和翻译。如果系统向左(x轴负方向)/向后(y轴负方向)/向下(z轴负方向)平移，则t矩阵中的z为正；翻译。x，翻译。y和翻译。如果系统向右(x轴的正方向)/前(y轴的正方向)/上(z轴的正方向)平移，则t矩阵中的z为负。爬楼梯就明白了。fkddr在地面上仰望5楼，5楼相当于5。当fkddr爬到五楼时，五楼等于0。fkddr爬到10楼的时候，5楼相当于-5。Fkddr是坐标系的原点，5层是固定点。
5. 综合变换
变换矩阵和点矢量的均匀化：那么对于固定点来说，如果按照“旋转-缩放-平移”的顺序改变坐标系，那么这个点的值就会改变如下：
6.总结ADAS涉及到各种坐标系的变换，点的坐标会随着坐标系的变换而变化。坐标变换矩阵是坐标系变换前后点值的映射矩阵。主要有旋转变换矩阵、缩放变换矩阵和平移变换矩阵。极其重要和令人困惑的是，在具体的应用场景中，是一个部门还是一个点，什么在变，什么没变。矩阵的具体实现可以采用python中的numpy模块。
