泰勒公式运算,泰勒公式数学分析

　　一、绪论对于一些比较复杂的函数，为了便于研究，往往希望可以用一些简单的函数来近似，比如：

　　当x-0时，sinxarcsinxtanxarctanxln(1x)ex-1x

　　作为一个用多项式表示的函数，我们只需要对自变量进行有限的加、减、乘三次算术运算就可以得到它的函数值，所以我们经常用多项式来逼近函数。

　　qrdbl公式是用多项式表示函数的通用方法，也称为qrdbl展开式和qrdbl级数。它是利用关于(x-x0)的n次多项式，用x=x0处的n次导数逼近函数f(x)的方法。

　　二、qrdbl中值定理1

定理： 如果函数(x)在x0处具有n阶导数，那么存在x0的一个邻域，于该邻域内的任一x，有

其中：Rn(x) = o((x-x0)n)

(3-4)

　　证明的具体介绍请参考《理解qrdbl中值定理1的证明过程的两个影响理解的简单隐含推导》的介绍。

　　注：多项式(3-3)公式右侧除“Rn(x)”外的部分用pn(x)表示：

　　在x0处调用函数f(x)的pn(x)

n 次qrdbl多项式

　　公式(3-3)本身称为f(x)在x0处的

带有佩亚诺(Peano)余项的n 阶qrdbl公式

佩亚诺余项

　　二、qrdbl中值定理2

定理：如果函数f(x)在x0的某邻域U(x0)内具有n+1阶导数，那么对于任意xU(x0)，有：

其中：

这里是x0与x之间的某个值。

　　证明思路：Rn(x)有n ^ 1的导数；Rn(x0)和Rn(x)在x0的第n个导数值都是0；Rn(x)和(x-x0)n ^ 1在区间[x0，x]内满足柯西中值定理的要求，则

　　然后将柯西中值定理应用于Rn(x)和(n ^ 1)(x-x0)n，得到：

　　按照这个方法，经过(n-1)次，可以得到：

　　同时很明显Rn(n ^ 1)(x)=f(n ^ 1)(x)，这样定理就可以证明了。

　　注：公式(3-5)在x0处用

拉格朗日余项的n阶qrdbl公式

拉格朗日余项

　　F(x)=f(x0) f()(x-x0)，其中(x0，x)

　　所以qrdbl中值定理2是拉格朗日中值定理的推广。

　　根据qrdbl的中值定理2，用多项式pn(x)逼近函数f(x)时，误差为Rn(x)。如果对于一个固定的n，当xU(x0)， f(n ^ 1)(x)M时，则有一个估算公式：

　　在qrdbl公式(3-3)中，如果x0=0，则有

dddxf（Maclaurin）公式

　　在qrdbl公式(3-5)中，如果x0=0，那么在0和x之间，因此，可以使=x(01)，从而qrdbl公式(3-5)成为更简单的形式，即

带有拉格朗日余项的dddxf公式

　　近似公式可由(3-8)或(3-9)得到：

　　估计公式(3-7)变成：

　　3.某些函数的qrdbl公式的表达式1。ex

带拉格朗日余项的dddxf公式

　　2.sinx

n次qrdbl多项式为

　　3.cosx

带拉格朗日余项的dddxf公式

　　4.ln(1 x)的qrdbl公式

带拉格朗日余项的dddxf公式

　　4.(1 x)

带拉格朗日余项的dddxf公式

　　四。应用

　　动词（verb的缩写）本文介绍两个qrdbl中值定理。qrdbl中值定理1将在某一点具有n 1阶导数的函数表示为多项式加留数，而qrdbl中值定理2则是对qrdbl中值定理1的留数进行了细化。通过拉格朗日余项的n阶qrdbl公式和带拉格朗日余项的dddxf公式，可以将一个函数表示为一个n阶多项式，从而为函数的后续运算提供了方便。

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