神奇的gamma函数,gamma函数求值

　　(x)=0tx 1e TDT

　　对应于scipy(python库):从scipy.special导入gamma

　　通过分布积分的方法，推导如下：

　　(x 1)=0 txe TDT=0 txd(e t)=[txe t 0 x0 tx1e TDT]=x(x)

　　该函数的递归性质可以如下获得：

　　(x 1)=x(x)(5 1)120.0 5 *(5)120.0

　　所以很容易证明( (1)=1， (n)=(n1) (n1))， (x)函数可以看作是阶乘在实数集上的延续，并具有以下性质：

　　(n)=(n1)！ (n)与B(m，n)的关系

　　B (m，n)= 10xm1 (1x) N1DXB (m，n)= (m) (n) (m n)从二项式分布到伽玛分布

　　通过稍微改变伽马函数的定义，可以获得下面的等式：

　　0x1e x()dx=1

　　然后

取积分中的函数作为概率密度

(概率密度函数，PDF)，得到最简单形式的伽马分布的密度函数：

　　伽马(x )=x1e x()

　　如果再做一次变换x=t，就会得到更一般形式的伽马分布：

　　(t ，)=t1et()

　　称为形状参数，主要决定分布曲线的形状，称为速率参数(或者反标度参数，1称为标度参数)，主要决定曲线有多陡。

Gamma 分布与Possion 分布

　　伽马分布首先与泊松分布(离散型)和泊松过程密切相关。很容易发现伽玛分布的概率密度在数学形式上与泊松分布高度一致。参数为的泊松分布，其概率质量函数(pmf)为：

　　possion(X=k )=kek！

　　伽马分布的密度(=k ^ 1，=1)给出：

　　伽马(x =k 1)=xe x(k 1)=xke xk！

　　所以两种分布在数学形式上是一致的，只是泊松分布是离散的，伽马分布是连续的，

可以直观地认为Gamma分布是Possion分布在正实数集上的连续化版本

。

　　我们在概率论与数理统计的课程中已经了解到，在np=，n的条件下，泊松()分布可以看作二项分布B(n，p)的极限分布：

　　b(k；n,p)=(nk)pk(1p)nknp=,npoisson(x=knp)=kek！

　　如果你足够关注二项分布，你可能知道二项分布的随机变量XB(n，p)满足下面这个精彩的

恒等式

　　P(Xk)=n！k！(n k1)！1 ptk(1t)nk1dt

　　我们在等式的右边进行变换t=xn，得到：

　　p(Xk)====n！k！(n k1)！nnp(xn)k(1 xn)n k 1d(xn)nnp(n 1)！k！(n k1)！(xn)k(1 xn)n k1dxnnp(n1k)(xn)k(1 xn)n k1dxnnpB(k；n1，xn)dxnnpB(Y=k n1，xn)dx

　　上式左边是二项分布B(n，p)的累积密度函数(cdf)，右边是无限个二项分布B (n1，xn)的积分和，所以可以写成：

　　B(Xkn，p)=nnpB(Y=k n 1，xn)dx

　　在np=，n的条件下，取上式两边的极限，你会得到：

　　泊松(Xk )=泊松(Y=k X)dx=xke xk！高级的（deluxe的简写）

　　讲到这里，我们不妨暂停一下。我们使用scipy进行简单的验证：

　　将scipy.stats作为ST from scipy . misc import factorial from scipy import integrate LMBDA，k=2，6X=ST . Poisson(2)# X ~ Poisson(2)print(X . CDF(K))# P(X=K)def Poisson _ pdf(X，K):return X * * K * NP . exp(-X)/factorial(K)print(integrate . quad(possion _ pdf，lmbda，np.inf，args=(K))[0)# 0.9956666

　　泊松(Xk )=泊松(Y=k X)dx=xke xk！高级的（deluxe的简写）

　　这个方程就是著名的