梯度下降算法是什么,梯度下降算法是最常用也是最有效

　　1.概述梯度下降广泛应用于机器学习。无论是线性回归还是Logistic回归，其主要目的都是通过迭代找到目标函数的最小值或者收敛到最小值。

　　本文将从一个下坡场景开始，先提出梯度下降算法的基本思想，然后从数学上解释梯度下降算法的原理，解释为什么要用梯度，最后实现一个简单的梯度下降算法的例子！

　　2.梯度下降算法2.1场景假设梯度下降法的基本思想可以类比为一个下坡过程。

　　想象这样一个场景：一个人被困在山上，需要从山上下来(找到山的最低点，也就是山谷)。但此时山上雾很浓，导致能见度低；所以下山的路径无法确定。你必须利用身边的信息，一步步找到下山的路。这时候你可以用梯度下降算法来帮助自己下山。怎么做？先以他现在的位置为基准，找到这个位置最陡的地方，然后向下走一步，然后继续以现在的位置为基准，再找到最陡的地方，然后一直走，直到最后到达最低的地方；上山也是一样，只是这次变成了梯度上升算法。

　　2.2梯度下降梯度下降的基本过程与下坡场景非常相似。

　　首先，我们有一个可微函数。这个函数代表一座山。我们的目标是找到这个函数的最小值，也就是山的底部。按照前面的场景假设，下山最快的方法是找到当前位置最陡的方向，然后沿着这个方向下山，对应的就是函数，也就是找到给定点的梯度，然后向梯度的反方向移动，这样函数值下降最快！因为梯度的方向是函数变化最快的方向(后面会详细解释)。

　　所以我们反复使用这个方法，反复计算梯度，最后达到局部极小，类似于我们下降的过程。而找梯度决定了最陡方向，这是场景中测量方向的手段。那么为什么梯度的方向是最陡的呢？接下来，让我们从差异化开始：

　　2.2.1区分区分的意义可以从不同的角度来看。最常用的两种是：

　　1)函数图像中点的切线的斜率。

　　2)函数的变化率

　　差异化的几个例子：

　　1.当函数只有一个变量时，单个变量的微分

　　2.多变量微分，当函数有多个变量时，即分别对每个变量进行微分。

　　2.2.2梯度梯度实际上是多元微分的推广。

　　下面的例子：

　　我们可以看到，梯度分别区分每个变量，然后用逗号分隔。包括梯度，表明梯度实际上是一个向量。

　　在梯度微积分中是一个非常重要的概念，梯度的意义之前已经提到过。

　　在一元函数中，梯度实际上是函数的微分，代表函数在给定点的切线的斜率。

　　在多元函数中，梯度是一个向量，向量有方向。梯度的方向表示函数在给定点上升最快的方向。

　　这解释了为什么我们需要尽一切可能获得梯度！当我们需要到达山脚时，我们需要观察每一步最陡的地方，而坡度正好告诉我们这个方向。梯度的方向就是函数在给定点上升最快的方向，那么梯度的反方向就是函数在给定点下降最快的方向，这正是我们所需要的。所以只要沿着坡度一直走，就能到达当地最低点！

　　2.3数学解释

　　2.3.1 在梯度下降算法中称为学习率或步长，意思是我们可以通过来控制每一步的距离，实际上就是不要走得太快，错过最低点。同时，一定不要走得太慢，导致太阳落山，到不了山脚下。所以的选择在梯度下降法中往往是非常重要的！不能太大也不能太小。如果太小，可能会导致到达最低点的延迟。太大的话会导致错过最低点！

　　2.3.2渐变要乘以一个负号渐变前面有一个负号，意思是向渐变的反方向移动！我们前面提到过，梯度的方向实际上是该点函数上升最快的方向！而我们需要往下降最快的方向走，自然是负梯度的方向，所以这里需要加一个负号；那么如果时间上坡，也就是梯度上升算法，当然就不需要加负号了。

　　3.例子我们已经基本了解了梯度下降算法的计算过程，那么我们来看几个梯度下降算法的小例子，先从一元函数开始，再引入多元函数。

　　如图，经过四次运算，也就是四步，基本达到了函数的最低点，也就是山底。

　　3.2多变量函数的梯度下降我们假设有一个目标函数

　　现在用梯度下降法计算这个函数的最小值。通过观察可以发现，最小值其实是(0，0)点。但是接下来，我们会从梯度下降算法开始一步步计算这个最小值！

　　让我们假设我们最初的起点是：

　　初始学习率为：=0.1。

　　我们发现它几乎接近函数的最小点。

　　4.代码实现4.1场景分析接下来，我们用python实现一个简单的梯度下降算法。该方案是线性回归的一个简单示例：假设现在我们有一系列点，如下图所示：

　　我们将使用梯度下降法来拟合这条直线！

　　首先我们需要定义一个代价函数，这里我们选择均方误差代价函数(也叫平方误差代价函数)。

　　在这个公式中

　　1)m是数据集中数据点的个数，即样本数。

　　2)是一个常数，这样在求梯度的时候，2乘以二次方会抵消掉这里的1，自然没有冗余。

　　常数系数，方便后续计算，同时不会影响结果。

　　3)y是数据集中每个点的真实Y坐标值，是类标签。

　　4)h是我们的预测函数(假设函数)。根据每个输入X，根据计算预测Y值，即

　　根据代价函数，我们可以看到代价函数中有两个变量，所以是一个多变量梯度下降问题。求解代价函数的梯度，即两个变量分别微分。

　　定义了成本函数和梯度，以及预测的函数形式。我们可以开始写代码了。但在此之前需要说明的是，为了方便代码的编写，我们会将所有公式转换成矩阵的形式。用python计算矩阵非常方便，代码会变得非常简洁。

　　为了计算矩阵，我们观察预测函数的形式。

　　我们有两个变量。为了矩阵化这个公式，我们可以给每个点x增加一个维度，这个维度的值固定为1，这个维度会乘以 0。这便于我们统一矩阵计算。

　　然后我们将代价函数和梯度转化为矩阵向量乘法。

　　4.2代码

首先，我们需要定义数据集和学习率

接下来我们以矩阵向量的形式定义代价函数和代价函数的梯度

　　#定义代价函数def cost _ function (theta，x，y): diff=dot (x，theta)-y # dot()数组需要像矩阵一样相乘，所以dot()return(1/(2 * m))* dot(Diff . transpose()，Diff)#定义代价函数对应的渐变函数def gradient _ function (theta，x，y):Diff=dot(x，theta)-y return (1/m) * dot (x.pose()，diff)

最后就是算法的核心部分，梯度下降迭代计算

　　#定义代价函数def cost _ function (theta，x，y): diff=dot (x，theta)-y # dot()数组需要像矩阵一样相乘，所以dot()return(1/(2 * m))* dot(diff . transpose()，Diff)#定义代价函数对应的渐变函数def gradient _ function (theta，x，y):Diff=dot(x，theta)-y return (1/m) * dot (x.pose()，Diff)。当梯度小于1e-5时，说明进入了一个相对平滑的状态，类似于一个山谷的状态。

　　运行代码，计算结果如下：

　　Javaprint(optimal:，optimal)# result[[0.51583286][0.96992163]]print( cost function:，cost _ function (optimal，x，1.5080.000000000505

　　#根据数据绘制相应的图像def plot (x，Y，theta):导入matplotlib.py plot为plt ax=plt.plot (111) #这是我修改的ax.scatter(X，Y，s=30，c=red ，Marker= s )PLT . xlabel( X )PLT . ylabel( Y )X=orange的范围(0，21，0.2)# X Y=theta[0]theta[1]* X ax . plot(X，Y).

通过matplotlib画出图像

　　#!/usr/axdxf/env python 3 #-*-coding:utf-8-*-# @ Time:2019/1/21 21:06 # @ Author:Arrow and Bullet # @ FileName:gradient _ descent . py # @ software:py charm # @ blog:https://blog.csdn.net/qq_41800366from numpyimport * #数据集大小为20个数据点的坐标m=20# x和对应的矩阵X0=ones((m，1)) #生成一个m行1列的向量，即X0，Allreshape(m，1) #生成一个m行1列的向量，即x1，from 1 to mX=hstack((X0，X1)) #根据列栈形成一个数组，实际上是样本数据对应的Y坐标Y=array，4，5，5 8，12，11，13，13，16，17，18，17，19，21])。reshape (m，1) #学习率alpha=0.01#定义代价函数def cost _ function (theta，x，y): diff=dot (x Theta)-Y # dot()数组需要像矩阵一样相乘，所以dot () return (1/(2 * m)) * dot (diff。transpose()，diff) #定义渐变函数def gradient_function(theta，X，Y): diff=dot (x，theta)-y return (1/m) * dot (x.pose()，diff) #渐变下降迭代def gradient _ descent (x，Y，alpha): theta=array ([1，1])。reshape (2，1)gradient=gradient _ function(theta，X，Y)while not all(ABS(gradient)=1e-5):theta=theta-alpha * gradient gradient=gradient _ function(theta，X，Y)return theta optimal=gradient _ descent(X，Y，alpha)print(optimal:，optimal)print(cost function:，cost_function(optimal，X，Y)[0][0])#根据数据绘制相应的图像def plot (x，Y，theta):导入matplotlib.py plot作为PLT ax.最优)5。至此，基本介绍了梯度下降法的基本思想和算法流程，并用python实现了梯度下降算法拟合直线的一个简单案例！

　　最后，我们回到文章开头提出的情景假设：

　　这个下坡人实际上代表了反向传播算法，下坡路实际上代表了算法一直在寻找的参数。山上当前点的最陡方向实际上就是该点的代价函数的梯度方向，用来观察场景中最陡方向的工具就是微分。在我们的算法中，下一次观察之前的时间由学习速率定义。

　　可见情景假设和梯度下降算法很匹配！

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