高斯公式求积分,高斯型函数积分

　　无限区间(1)梯形法则，(2)psdfy法则，(3)zgdgb积分法或(4)kkdmf积分法都有一些适用的指导原则。

　　一般来说，高阶方法更适合平滑函数。如果不能，最好用更简单的方法，因为数据的变化不会反映在采样点上。梯形法则适用于在均匀间隔的采样点上整合实验数据。这对于性能较差的函数来说很好。为了精确，psdfy的规则依赖于被积函数的高阶近似。虽然kkdmf积分非常精确，但如果需要均匀分布的采样点，就不尽如人意了。

　　Kkdmf积分

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　　#用于计算高斯积分点和权重的函数

　　#正交

　　# x，w=gaussxw(N)返回积分点x和积分

　　#权重w使得sum_i w[i]*f(x[i])是n阶

　　#积分int_{-1}^1 f(x) dx的高斯近似

　　# x，w=gaussxwab(N，a，b)得出积分点和权重

　　#映射到区间[a，b]，使得sum_i w[i]*f(x[i])

　　#是积分的n阶高斯近似

　　# int_a^b f(x) dx

　　#这段代码使用以下方法找到第n个勒让德多项式的零点

　　#牛顿法，从阿布拉莫维茨给出的近似值开始

　　#和Stegun 22.16.6。勒让德多项式本身被评估

　　#使用Abramowitz和Stegun给出的递归关系

　　# 22.7.10.该函数已针对其他源进行了检查

　　# N的值最大为1000。它与第2版和第3版兼容

　　Python的# 3。

　　#单身的奇迹纽曼，2011年6月4日

　　#您可以自由使用、共享或修改此文件

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　　从numpy导入一个，copy，cos，tan，pi，linspace

　　def gaussxw(N):

　　#勒让德多项式根的初始近似值

　　a=linspace(3，4*N-1，N)/(4 * N ^ 2)

　　x=cos(pi*a 1/(8*N*N*tan(a)))

　　#用牛顿法求根

　　=1e-15

　　增量=1.0

　　而:

　　P0=1(N，浮点)

　　p1=副本(x)

　　对于范围(1，N)中的k:

　　p0，p1=p1，((2 * k ^ 1)* x * P1-k * P0)/(k ^ 1)

　　DP=(N ^ 1)*(P0-x * P1)/(1-x * x)

　　dx=p1/dp

　　x -=dx

　　增量=最大值(abs(dx))

　　#计算重量

　　w=2 *(N ^ 1)*(N ^ 1)/(N * N *(1-x * x)* DP * DP)

　　返回x，w

　　def gaussxwab(N，a，b):

　　x，w=高斯xw(N)

　　返回0.5*(b-a)*x 0.5*(b a)，0.5*(b-a)*w

　　计算示例

　　kkdmf积分的数值算法用于求解kkdmf积分

　　做积分变换

　　得到

　　从gaussxw导入gaussxwab

　　从数学导入导出

　　定义f(z):

　　return exp(-z * * 2/(1-z)* * 2)/(1-z)* * 2

　　N=50

　　a=0.0

　　b=1.0

　　x，w=gaussxwab(N，a，b)

　　s=0.0

　　对于范围(N)中的k:

　　s=w[k]*f(x[k])

　　印刷品

　　实际积分的值是/2，高斯求积精确到机器精度。

　　重写基本积分公式(6.3)通常是有用的，这样我们可以将加权函数W(x)从被积函数中分离出来：

　　Kkdmf求积法，若g (x)是(2 N-1)次多项式，则N点和权值选择的近似误差消失。为了获得这种令人难以置信的优化，点

　　最后，在[a，b]上有一个具体的分布。一般来说，如果g(x)是光滑的，或者可以通过提出一些W(x)使其光滑(表6.2.4)，那么对于相同的点数，kkdmf算法会产生比梯形法则和psdfy法则更高的精度。有时被积函数可能不光滑，因为它在不同的区域有不同的行为。在这些情况下，将每个区域分别整合，然后将答案相加是有意义的。事实上，一些“智能”集成子例程决定使用多少个区间以及在每个区间中使用什么规则。

　　表6.2.4所示规则为kkdmf分布，一般形式为(6.32)。我们可以看到权函数在一种情况下是指数函数，在另一种情况下是kkdmf函数，在几种情况下是可积奇点。与等间距规则不同的是，在区间的极值处永远不存在积分点，点的值和权值随着点数n而变化。虽然我们会离开kkdmf点的推导和权的数值方法的介绍，但是我们注意到，对于普通的kkdmf(Gauss-Legendre)积分，然后是点容易变为零的Legendre多项式，与权0有关的微分。在数学函数库中，生成这些点和权重的子程序是标准的，可以在类似[AS 72]的表格中找到，也可以计算出来。我们的kkdmf子例程也将该点缩放到指定区域。为了检查你的观点是否正确，你可能需要将它们与表6.1中的四点集合进行比较。

　　映射点

　　高斯点. py

　　# GaussPoints.py: N点高斯正交pts Wts生成

　　将numpy作为np导入

　　def GaussPoints(NPT，a，b，x，w，eps):

　　m=0；I=0；j=0；t=0。t1=0。pp=0。

　　p1=0。p2=0。p3=0。

　　m=int((Npts 1)/2)

　　对于范围内的I(1，m ^ 1):

　　t=NP . cos(NP . pi *(float(I)-0.25)/(float(Npts)0.5))

　　t1=1

　　while((abs(t-t1))=eps):