logit回归模型结果分析,logistics回归模型的参数估计

　　本文主要介绍如何根据效用最大化理论推导出二项logit模型。

　　本文是离散选择模型(DCM)系列文章的第八篇。

　　温馨提示：阅读本文前，请准备好纸、笔和小板凳。自己推导，有助于理解。

　　Probit模型建模过程回顾在论文《效用最大化准则：离散选择模型的核心（Probit篇）——离散选择模型之七》中，我们给出了基于效用最大化理论的二项式Probit模型的推导过程。简要回顾建模过程：

　　假设决策主体N面临两个方案I和J，方案I的效用可以表示为可观测的确定性部分和一个随机项之和：(1)同样，方案J的效用可以表示为：

　　(2)对于决策主体N，如果方案I的效用高于方案J，则N选择方案I.也就是说，n选择方案I的概率相当于事件发生的概率：

　　(3)如果和服从均值为0、方差为0的正态分布，则服从均值为0、方差为0的正态分布。在此基础上，可以推导出Probit模型的表达式形式，如下式(4)所示。其中表示标准正态分布的累积分布函数。

　　(4)概率单位模型的特点

　　从建模的角度来看，Probit模型假设了随机项。

　　并且服从正态分布，这有一定的合理性3354，这也是它的优势；但是Probit模型没有——的封闭解，每次计算值都需要积分，给实际应用带来了一定的不便。为了解决这个问题，研究者提出如果假设随机项

　　而Gumbel分布(而不是上面提到的正态分布)，我们可以得到一个模型——，它有属性和Probit模型类型，但是更方便分析。这是二项式Logit模型。图1 .标准正态分布的累积分布函数冈贝尔分布

　　Gumbel分布是一种极值分布，常用于估计和预测极端事件。比如一个水文站连续50年每天观测某条河流的水位；如果河道的年最高水位单独建模，则可考虑Gumbel分布。此外，Gumbel分布还应用于地震、洪水等极端自然灾害的预测。

　　带有参数的。

　　is的耿贝尔分布，其概率密度函数(PDF)可表示为：(5)

　　图2显示了当参数

　　以及对应不同值的概率密度函数图。从图中可以看出，是位置系数(冈贝尔分布的众数为)，但标度系数3354与冈贝尔分布的离散性有关(冈贝尔分布的方差为)。图2 .冈贝尔分布

　　与，相对应的冈贝尔分布，称为标准冈贝尔分布；的概率分布是：

　　(6)

　　其对应的累积分布函数(CDF)为：

　　(7)

　　从图3中可以看出，标准耿贝尔分布的形状一般接近于标准正态分布的形状，但耿贝尔分布是不对称的，其分布表现出一定的偏斜度。另外，Gumbel分布的尾部比标准的正态分布要胖一点。

　　图3 .标准Gumbel分布和标准正态分布逻辑分布

　　在推导二项Logit模型的表达式之前，先介绍另一种分布：Logistic分布。

　　随机变量

　　服从逻辑分布意味着具有以下分布函数和密度函数：(8)

　　(9)

　　其中，

　　是位置参数和形状参数。为了方便起见，我们将记录带参数的逻辑分布，如下所示。下图显示了这些参数。

　　以及不同值对应的Logistic分布的概率密度函数(PDF)。从图中可以看出，曲线的增长速度在附近较快，两端较慢。形状参数的值越小，附近的曲线增长越快。什么时候，什么时候，叫做标准物流配送；其对应的分布函数和密度函数为：(10)

　　(11)

　　图4。物流配送Logit模型的推导

　　首先给出一个重要的性质：如果随机变量

　　而且都服从Gumbel分布，相互独立，所以服从Logistic分布。也就是说，如果：和彼此独立：

　　详细认证流程请参考《从Gumbel分布到Logistic分布——离散选择模型之九》。

　　根据上面的公式(3)，我们知道决策主体N选择方案I的概率。

　　相当于：

　　在Logit模型中，我们只是假设随机效用部分。

　　和，服从Gumbel分布，和，相互独立。根据上述性质，它服从参数为0和1的Logistic分布。所以上面的公式可以进一步改写为：(12)

　　分子和分母同时相乘。

　　是：(13)

　　中中

　　方案I和J的效用的确定性部分.如前所述，效用的确定性部分可以表示为几个独立变量的线性组合，即：

　　最后，在二项式Logit模型中，决策者N选择方案I的概率可以表示为：

　　(14)

　　等式(14)是二项式Logit模型的表达式。图5显示了只有一个独立变量时二项式Logit和二项式Probit的图像：

　　图5 .二项式Logit和二项式Probit模型之间的比较

　　[本文结束]

　　列列表(动态更新.)离散选择模型的基础：

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