二进制码的补码,二进制补码作用大吗,二进制和补码

　　问一个基本问题。

　　负数在计算机中是如何表示的？比如8在计算机中表示为二进制1000，

那么-8怎么表示呢？

　　很容易认为一个位可以指定为符号位。等于0时表示正数，等于1时表示负数。例如，在8位机器中，每个字节的最高位被指定为符号位。那么，8就是00001000，-8就是10001000。

　　但是，任何一个《计算机原理》的副本都会告诉你，其实

2的补码

　　2的补数是多少？这是一种数值转换方法，分两步完成：

　　第一步，每个二进制位取相反的值，0变成1，1变成0。例如，00001000的相反值是1110111。

　　第二步。将上一步获得的值加1。1110111变成了1111000。

　　所以，00001000的二进制补码是1111000。也就是说，-8在计算机(8位计算机)中用11111000表示。

　　不知道大家怎么看，我觉得很奇怪。为什么一定要用这么麻烦的方式表达负数？更直观的方式不好吗？

　　昨天又在一本书上看到这个问题，然后花了一点时间在网上找资料。现在终于彻底明白了。

　　首先，2的补码的好处要清楚。其实计算机用什么方式表示负数并不重要。只要能保持一一对应，负数可以用任何方式表示。所以，既然可以随意选择，就要选择最方便的方式。

　　2的补码是最方便的方法。它的方便之处在于所有的加法运算都可以由同一个电路完成。

还是以-8作为例子。

　　假设有两种表示。一种是直观表象，即10001000；另一种是二进制补码表示法，即11111000。另外哪种表示更方便？

　　写任意一个公式，16 (-8)=？

　　6的二进制表示是00010000，所以用直观表示，加法会写成：

　　0010000+10001000-10011000可以看出，如果按照正常的加法规则，会得到10011000的结果，换算成小数就是-24。显然，这是错误的答案。也就是说，在这种情况下，正常的加法规则不适用于正数和负数的加法，所以必须制定两套运算规则，一套是正数加正数，一套是正数加负数。从电路角度来说，做加法需要做两种电路。

　　现在，让我们看看二进制补码表示。

　　0010000+1111000 - 100001000可以看出，按照正常的加法规则，结果是100001000。注意，这是一个9位二进制数。我们已经假设这是一台8位机，所以最高的第9位是溢出位，会自动丢弃。所以结果变成00001000，十进制转换正好是8，是16 (-8)的正确答案。这说明二进制补码表示法可以将加法规则推广到整个整数集，从而可以用一组电路实现所有整数的加法。

　　2的补数的本质在回答2的补数为什么能正确实现加法之前，我们先来看看它的本质，也就是那两步的转换方法是怎么来的。

　　要把一个正数变成对应的负数，其实只要把这个数从0减去就可以了。比如-8其实就是0-8。

　　8的已知二进制数是00001000，而-8可由下式求出：

　　0000000-00001000-000000-000000(被减数)小于0000100(被减数)，所以不够。请回忆一下小学的算术。如果被减数的一位小于被减数，我们该怎么办？很简单。就问最后一个人借1。

　　所以，0000000也是借用了上一个人的1，也就是说被减数实际上是10000000，公式改写为：

　　100000000-00001000-1111000进一步观察表明，1000000=11111111 1，所以上述公式可以一分为二：

　　111111-00001000-1110111+0000001-1111000 2的补码的两个转换步骤就是这样来的。

　　为什么正加法适用于二进制补码？其实我们想证明的是X-Y或者X (-Y)可以用X加Y的2的补码来做。

　　Y ^ 2的补码等于(11111111-Y) 1。所以，x加上y的补数等于：

　　X (11111111-Y) 1

　　我们假设这个公式的结果等于Z，即Z=X (11111111-Y) 1。

　　接下来分两种情况讨论。

第一种情况

　　Z=-[11111111-(Z-1)]=-[1111111-(X(11111111-Y)1-1)]=X-Y

第二种情况

　　Z=Z-10000000=X(11111111-Y)1-1000000=X-Y这证明了在正常的加法规则下，利用2的补码可以得到正负数相加的正确结果。换句话说，计算机可以通过部署加法电路和补码电路来完成所有整数的加法。

（完）

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